托勒密定理(托勒密定理的证明)

托勒密定理:原来可以这么玩!

 

托勒密定理原来可以这么玩今年8月初，小编有幸参加了在南京举行的第二届数学行者初中数学教学研讨会！因此，有机会现场聆听数学大咖们的分享！其中于特关于托勒密定理的妙用，让我大开眼界！ 遂有此文，聊以纪念这次“南京数学行者”之旅！

托勒密定理内容简单、形式优美，有助于处理圆的内接凸四边形的边长其相关推论对于解决凸四边形最值问题有很大帮助小编将从托勒密定理的证明及应用，相关推广及应用来进行阐述！1、托勒密定理的两种证法一般几何教科书中的。

“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出定理：圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积已知：如图1，凸四边形ABCD是圆O的内接四边形，连接对角线AC

、BD。求证：AB.CD+BC.AD=AC.BD

图1分析：由结论的形式我们可以联想到构造三角形相似，从而得到对应变成比例，并把它转化为乘积形式，从而得证！证法一：如图2，在BD上找一点E，使∠1=∠2。

图2

证法二：如图3，∠1=∠2，使AE交CB的延长线于点E。

图3

2、托勒密定理的应用例1：如图4,在O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD=60∘，点C为弧BD的中点，则AC的长是。

图4解析：连接BD，因为∠BAD=60，CB=CD,易知∠BCD=120，BD=√3BC由托勒密定理知：AC.BD=AB.CD+AD.BC即AC.√3BC=3BC+5BC故√3AC=8，AC=8√3/3

例2:如图5，点P是等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，连接PA、PB、PC。求证：PA=PB+PC

图5解析：因为△ABC为等边三角形，故AB=BC=AC由托勒密定理知：AP.BC=AB.PC+AC.BP即AP.BC=PC.BC+BP.BC，即AP=PB+PC例3：（利用托勒密定理证明勾股定理）已知Rt

△ABC,设直角边AB=a,BC=b,斜边AC=c。求证：

解析：如图6，构造矩形ABCD和外接圆O，

图6由托勒密定理得：AC.BD=AB.CD+BC.AD即AC.AC=AB.AB+BC.BC即

3、托勒密定理的推论及证明托勒密定理在解决圆的内接凸四边形的边长关系时非常简洁、方便，但仅限于该凸四边形共圆如果凸四边形不共圆时，各边长将满足怎样的关系呢？托勒密定理推论：任意凸四边形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，而且当ABCD四点共圆时取等号。

证明：如图7，在四边形ABCD中,连接AC、BD,作∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠CAD则△ABE∽△ACD

图7∴ BE/CD=AB/AC,AB/AC=AE/AD∴BE.AC=AB.CD(1),AB/AE=AC/AD∵∠BAE=∠CAD∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC即∠BAC=∠DAE又∵AB/AE=AC/AD,

∴△ABC∽△AED∴BC/ED=AC/AD∴ED.AC=AD.BC(2)由（1）+（2）得：AC.(BE+ED)=AB.CD+AD.BC又∵BE+ED≥BD∴AC.BD≤AB.CD+AD.BC当且仅当点

E落在线段BD上时，等号成立。

图8如图8，此时∠ABD=∠ACD∴ABCD四点共圆。4、托勒密定理推论的简单应用例4：如图9，在四边形中BC=CD，∠BCD=90。若AB=4cm，AD=3cm，则对角线AC的最大值为cm.

图9解析：本题是2017年园区初二期末数学统考题，我们通常采用旋转的方法求AC的最大值当小编知道托勒密定理的推论时，这个问题变得非常简单由托勒密定理得：AC.BD≤AB.CD+AD.BC即AC.√2BC

≤AB.BC+AD.BC即√2AC≤7，即AC≤7√2/2我们从来不缺少知识，但我们缺少对知识有计划的吸收、加工和输出！路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！end点击以下关键词，查看更多往期内容阿氏圆｜费马点

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