自然数(自然数包括0吗)

关注微信公众号《许兴华数学》。那么是从“0”开始“自然”还是从“1”开始“自然”，在不同历史不同文明中颇有争论。我们看看数学家是怎么认识这个问题的？

 

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【来源】马同学高等数学（许兴华数学/选编）这是一个没有定论的问题我个人是支持自然数包含「0」的，并且：中国于1993年制定的强制性国家标准《物理科学和技术中使用的数学符号》(GB 3102.11-93)，参照国际标准ISO 31-11规定：。

维基百科下面尝试描述下关于这个问题的各个方面。1 现实生活数数的时候，我们一般从1开始数：

尺子却是从0开始丈量：

那么是从“0”开始“自然”还是从“1”开始“自然”，在不同历史不同文明中颇有争论。我们看看数学家是怎么认识这个问题的？2 皮亚诺公理

朱塞佩·皮亚诺 （1858－1932）是意大利数学家、逻辑学家、语言学家。他在1889年发表的《算术原理新方法》中提出了定义自然数的五个公理，史称皮亚诺公理：

从这篇历史文献来看，公理明确指出自然数是从1开始的，翻译为易读的语言大概是（关于这五个公理的详细解释请参考这篇文章，不过此文是从0开始介绍自然数的）：公理1：1是自然数。公理2：每一个确定的自然数 

 ，都有一个确定的后继数 

 ，

 也是自然数。 公理3：1不是任何自然数的后继数。公理4：不同的自然数有不同的后继数。公理5：任意关于自然数的性质，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数 

 为真时，可以证明它对 

 为真，那么命题对所有自然数都真。 简而言之，皮亚诺公理通过1和它的后继数们，构成了自然数：

这些自然数在不同的文化中有不同的命名：

很显然，就上述五个公理而言，从0开始还是从1开始都是符合的：

哪怕从22开始都可以，不过从22开始很不符合常识，这个就不讨论了那么究竟应该0还是从1开始自然数呢？3 加法3.1 加法、减法、整数有了皮亚诺公理，就比较容易定义加法了（关于加法的定义，请参考这篇文章，下面的用法比较通俗，可能产生混淆）：

那么如果有0的话，可以这么来表示“原地踏步”：

抵消相加效果，使之“原地踏步”的运算，就是加法的逆运算，减法（其实可以跳过“原地踏步”这个定义，可自行思考）：

我觉得更有用的是，有了0之后，还可以定义相反数：

则 

 为相反数。这样就可以通过加法，把自然数扩展到整数：

3.2 群论上面说的并不严格，从群论角度更严格一些（关于群论请参考这篇文章）。首先来看下半群：半群，

 是一个集合，连同一个运算“

”，它结合任何两个元素 

 和 

 而形成另一个元素，记为 

 ：封闭性：对于 

 ，有  

结合性：对于所有 

，有 

在半群基础上，增加：幺半群，除了半群的性质外，增加：单位元：存在 

 ，使得对于所有

中的元素，有

幺半群的基础上，增加：群，除了幺半群的性质外，增加：逆元：对于 

 ，存在 

 ，使得 

 ，其中 

 是单位元半群、幺半群、群之间的关系是：

群的性质好于幺半群，好于半群。可见“0”在其中起到了重要作用，在这里，“0”比“1”要重要。3.3 自然数与群论如果自然数从1开始，结合上加法，那么满足：封闭性：对于 

 ，有 

 。结合性：对于所有 

 ， 

此时定义出来的自然数是一个半群。增加加法的单位元：

此时定义出来的自然数是一个幺半群，自然数需要从0开始。增加加法的逆元：

可以得到整数，这是一个完整的群。因此：

我想，这大概是一部分数学家支持自然数包含0的主要原因。4 另外的构造方式除了皮亚诺公理以外，还有等效的构造方式。Zermelo-Fraenkel的构造方式：

Von Neumann的构造方法：

构造的开始都是 

 ，所以一般都会认为是从0开始的。5 总结当然，如果自然数不包含0，至少有以下好处：

，总是成立 

，总是成立 国外有些教材好像自然数不包含0，最保险的或许如下表示包含0或者不包含0：

其中，

 是整数。或许，自然数不自然，有理数不有理。

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