一看就会托勒密定理(托勒密定理的推广)

托勒密定理古埃及天文学家托勒密(~100-168)，在他的著作中不仅描述了行星理论，还包含许多数学三角和几何的知识，在书中，他还给出了π的近似值

 

托勒密定理古埃及天文学家托勒密(~100-168)，在他的著作中不仅描述了行星理论，还包含许多数学三角和几何的知识，在书中，他还给出了π的近似值为377/120，并证明了现在以他的名字命名的定理设一个凸四边形ABCD内接一个圆中，那么两个对边的乘积的和等于它两条对角线的乘积。

换句话说,：AD⋅BC+AB⋅CD=AC⋅BD.

证明：在对角线上BD定位一个点M，使角ACB和角MCD相等由于角BAC和BDC对同一条弧，所以它们相等因此三角形ABC和DMC是相似的得到CD/MD=AC/AB，或AB⋅CD=AC⋅MD (1)角度BCM和ACD也是相等的;因此三角形BCM和ACD相似，得到

BC/BM=AC/AD，或BC⋅AD=AC⋅BM (2)把(1),（2））两个等式加起来就得到了AB⋅CD + BC= AC⋅MD + AC⋅BM = AC⋅BDAB⋅CD+BC⋅AD=AC⋅MD+AC⋅BM=AC⋅BD。

托勒密定理可以推出一个有用的不等式:对于四个点a, B, C, D，并不一定是共圆的点，AB⋅CD+BC⋅AD≥AC⋅BD这就是众所周知的托勒密不等式托勒密定理的应用利用托勒密定理可以证明三角的和差化积公式。

如图BC经过圆心，则角BAC=90°角BDC=90°, BC=1, 直接带入托勒密公式就有：

为了证明正弦的两个角的差公式，让边BC作为直径，使BC=1，则角BAC=角BDC=90°, 利用直角三角形得出各边长，带人托勒密公式就证明出：

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