狄利克雷函数是什么？狄利克雷函数图像？居然可以这样

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Mark wiens

发布时间：2024-04-12

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NICE TO MEET YOU ♡ ♡ ♡狄利克雷函数（英语：dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数狄利克

狄利克雷函数是什么？狄利克雷函数图像？居然可以这样

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NICE TO MEET YOU ♡ ♡ ♡狄利克雷函数（英语：dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分。

这是一个处处不连续的可测函数01简介狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴，是一个偶函数，它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分这是一个处处不连续的可测函数。

02公式定义实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数表示为：

（k，j为整数）也可以简单地表示分段函数的形式D(x)=0（x是无理数）或1（x是有理数）03性质分析基本性质1、定义域为整个实数域R2、值域为{0,1}3、函数为偶函数4、无法画出函数图像，但是它的函数图像客观存在。

5、以任意有理数为其周期，无最小正周期（由实数的连续统理论可知其无最小正周期）分析性质1、处处不连续2、处处不可导3、在任何区间内黎曼不可积4、函数是可测函数5、在单位区间[0,1]上勒贝格可积，且勒贝格积分值为0（且任意区间以及R上甚至任何R的可测子集上（区间不论开闭和是否有限）上的勒贝格积分值为0 ）

对性质5的说明：虽然m(R/Q)=+∞，但在R/Q上有f(x)=0，符合可积条件（说明中Q为有理数集）04函数周期狄里克雷函数是周期函数，但是却没有最小正周期，它的周期是任意负有理数和正有理数因为不存在最小负有理数和正有理数，所以狄里克莱函数不存在最小正周期。

05创始人介绍狄里克雷（Dirichlet，Peter Gustav Lejeune，1805～1859），德国数学家对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一1805年2月13日生于迪伦，1859年5月5日卒于。

格丁根中学时曾受教于物理学家G.S.欧姆；1822～1826年在巴黎求学，深受J.B.J.傅里叶的影响回国后先后在布雷斯劳大学、柏林军事学院和柏林大学任教27年，对德国数学发展产生巨大影响1839年任柏林大学教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大学的教授职位。

在分析学方面，他是最早倡导严格化方法的数学家之一1837年他提出函数是x与y之间的一种对应关系的现代观点在数论方面，他是高斯思想的传播者和拓广者1833年狄里克雷撰写了《数论讲义》，对高斯划时代的著作《算术研究》

作了明晰的解释并有创见，使高斯的思想得以广泛传播1837年，他构造了狄里克雷级数1838～1839年，他得到确定二次型类数的公式1846年，使用抽屉原理阐明代数数域中单位数的阿贝尔群的结构在数学物理方面，他对椭球体产生的引力、球在不可压缩流体中的运动、由太阳系稳定性导出的一般稳定性等课题都有重要论著。

1850年发表了有关位势理论的文章，论及著名的第一边界值问题，现称狄里克雷问题狄利克雷函数的出现，表示数学家“J对数学的理解发生了深刻的变化数学的一些“人造”特征开始展现出来这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”狄利克雷是数学史上第一位重视概念的人。

并且是有意识地“以概念代替直觉”的人在狄利克雷之前，数学家们主要研究具体函数进行具体计算，他们不大考虑抽象问题但狄利克雷之后，事情逐渐变化了人们开始考虑函数的各种性质，例如(函数的)对称性、增减性、连续性等。