这都可以？复数乘法(复数乘法结合律)

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7.数学教师必备 | 手机版《高中数学教学手册（旧版）》 8.开题报告、中期检查、结题报告（全套）

教学分析导读：    “7.2复数的四则运算”讨论复数集中的四则运算问题，即研究复数的加、减、乘、除运算，其中加法、乘法运算是核心，减法、除法运算分别是它们的逆运算.除此之外.还讨论了复数加法、减法运算的几何意义.本节侧重提升学生的

数学运算、直观想象素养.教材分析：1. 复数的乘法法则与复数的加法法则类似，应引导学生结合引入复数集的过程，在希望保持运算律的指引下，自主探索如何“合理地”规定复数的乘法法则.鉴于复数的乘法法则的形式较为复杂，因此，在引入复数的乘法法则后，更应引导学生加强与多项式的乘法进行类比，以发现两者的共性和差异.具体地，将复数a+bi看成是关于i的“一次二项式”，将复数的乘法按多项式的乘法进行，只要在所得的结果中把

i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.因此，没有必要专门记忆复数乘法的法则.2. 复数的乘法满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律.教学中可以根据学生的实际情况，要求他们证明部分或全部运算律.下面仅给出乘法交换律的证明：

设

,其中

.因为,

,所以

在复数的运算律的教学中，让学生适当进行形式化的运算，有助于培养他们的逻辑推理、数学运算素养.3. 例3、例4的教学例3要求三个复数的连乘积，本例的目的有两个，一是让学生明晰，依据复数乘法的结合律，这种连乘形式有意义，可以看成左到右依次相乘；二是让学生熟悉复数的乘法.教学中，要特别提醒学生注意(-2i)(4i)=8,而不是-8；也可以在例3前先安排几个两个复数相乘的题目

，再进行例3的教学.例4可以用复数的乘法法则直接计算，但这里主要是提醒学生实数系中的乘法公式在复数系中也有类似的公式，运用乘法公式可以简化运算过程.4. 共轭复数的性质教材在例4里的旁白提出问题“若z1

，z2是共轭复数,则z1z2是一个怎样的数?”目的是引导学生推广例4(1)的结论,通过自主探究得到共轭复数的一个重要性质,即设

,则

是实数,且

.共轭复数的这个性质也为学习复数的除法作了准备.此外,共轭复数还有一些重要性质.例如:(1)如果

,那么

为实数;（2）共轭复数的和为实数,即设

,则

;(3)

;(4)

;(5)如果实系数一元多项式方程有虚根，那么虚根以共貌复数的形式“成对”出现.鉴于《标准(2017年版)》对这些性质不作要求，因此教材中没有予以呈现5.复数的除法教材要求学生类比实数的除法是乘法的逆运算,探求复数的除法法则.教学中可以引导学生联系复数减法法则的引人过程,规定复数的除法是乘法的逆运算,即把满足。

……①的复数

,叫做复数

除以复数

的商.由①计算,可得

,根据复数相等的定义,有cx-dy=a,cy+dx=b.由此,得

.于是,

且

.6. 复数除法法则的形式比较复杂，不易准确记忆.在实际进行复数除法运算时，按照复数的除法法则进行运算，非常烦琐，也极易出错.教学中可以引导学生类比根式的除法.得到简便操作方法：先把两个复数相除写成“分数”形式，再把分子与分母都乘分母的共巍复数，使分母

“实数化”，最后再作化简.实际上，这种方法是进行复数除法运算的通法，依此进行复数除法运算，既简洁又不需要记忆烦琐的除法法则.7. 例5、例6的教学例5是复数除法的计算题,目的是让学生熟练掌握上述复数除法的运算过程.

章引言指出,对于实系数一元二次方程

,当

时没有实数根.因此,在研究代数方程的过程中,如果限于实数集,有些问题就无法解决.在实数集扩充到复数集后,上述方程是否有解?如果有解,解是什么?例6与此相呼应,安排了从特殊到一般的两道小题,在复数范围内解实系数一元二次方程

.教材在例6的基础上,梳理出在复数范围内实系数一元二次方程

的求根公式:（1）当∆>0时,

;（2）当∆<0时,.

这样就“彻底”解决了解实系数一元二次方程的问题.需要指出的是,鉴于已有的复数基础,例6的解答过程并不严密,教材实际上默认了一元二次方程

及其一般形式

的根不能超过两个这个直观事实.要在复数范围内严密地解方程

(进而严密地解实系数一元二次方程

,需要利用复数三角表示中的棣莫弗定理.教材在复数三角表示部分设置了选学栏目——“探究与发现1的n次方根”,以弥补这一不足.8. 关于选学栏目“阅读与思考代数基本定理”本栏目介绍代数基本定理,即:任何一元

次复系数多项式方程f(x)=0至少有一个复数根.进而,任何一元n次复系数多项式方程有n个复数根(重根按重数计).这说明复数系是代数闭域.从而从解方程的角度进一步凸显出复数系的重要价值，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它在代数学中起着基础性作用.

这样，教材通过“完整地”介绍解方程的过程，让学生从一个侧面对复数的来龙去脉有个初步了解，有助于他们加深对引入复数的必要性和重要性的理解，也提升了他们学习复数的兴趣.教学目标：1、知识与技能目标：（1）了解引入复数的必要性；了解数系扩充的一般“规则”

（2）理解复数的代数表示式，理解复数的有关概念，理解复数相等的意义.2、过程与方法目标：（1）通过数系的扩充历史，了解数系的扩充过程和引入复数的必要；（2）通过对新概念的学习提高学生的认知能力，在复数相等充要条件的研究过程中提高学生类比思考与转化的能力。

3、情感、态度与价值观目标：通过学习，感受人类理性思维在数系扩充过程中的作用以及数学与现实世界的联系教学重点：对数系扩充必要性的认识，理解复数的基本概念.教学难点：复数的有关概念及应用.教学方法：探究法。

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6.4.3.1余弦定理6.4.3.2正弦定理6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例7.1.1数系的扩充和复数的概念7.1.2复数的几何意义7.2 复数的四则运算（第1课时）7.2 复数的四则运算（第2课时）

7.3 复数的三角表示 （第1课时）7.3 复数的三角表示 （第2课时）第七章 复数 章小结END

全文完

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4.课本答案 | 高中数学教材必修3练习、习题、复习参考题题目答案，5.课本答案 | 高中数学教材必修4练习、习题、复习参考题题目答案，6.课本答案 | 高中数学教材必修5练习、习题、复习参考题题目答案，

7.课本答案 | 高中数学教材选修2-2练习、习题、复习参考题题目答案，8.课本答案 | 高中数学教材选修2-3练习、习题、复习参考题题目答案9.【课堂实录】小学数学全套部级优课(1-6年级的每一节课)；。

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