泊松分布公式_泊松分布公式推导

图文详解泊松分布的推导过程。

 

全文1552字，读完约需8分钟。此文将泊松分布的推导过程以图为主的形式呈现，希望能清晰呈现公式演绎的结构和过程，以此降低初学者的理解难度。

（图片来自电影《决胜21点》）01 泊松分布概览泊松分布是用来描述小概率事件分布的方法它是指随机事件A发生的概率很小，但实验次数N很大的分布情况在书本上，泊松分布是这样定义的：如果随机事件A发生的概率是p，进行n次独立实验，恰巧发生了k次，则相应的概率可以用如下公式计算：。

（1.1）泊松分布会涉及到极限、二项分布的知识，在介绍泊松分布的推导公式之前，我想先简单介绍必要的知识02 泊松分布背景知识极限思想极限，一言以蔽之，就是无限逼近的意思简单来说，e是增长的极限即用很大或很小的数字代入。

都可以得到e的近似值。这一过程用数学公式表示如下

（2.1）不知道应用情景也没关系，后面我们会用到，这里先跟大家提一下~小贴士：极限的符号为lim，它出自拉丁文limit（界限）的前三个字母“x趋于∞”在数学语言中，用“x→∞”表示无穷，又称无限大，来自于拉丁文的“infinitas”，即“没有边界”的意思。

其数学符号为∞e 以瑞士数学家欧拉命名，被称为欧拉数（Euler number）它是一个无限不循环小数，值约为2.718281828459045（不用记忆，了解就好~）这里不是极限的主场，我就点到为止啦。

如果你好奇心很浓，对极限感兴趣，想了解与之有关的知识及应用，可以看我之前的文章《小白也能懂的微积分》泊松分布的基础：二项分布二项分布是随机实验中最简单和可重复的情况，但它却揭示了深刻的事件发生概率在二项分布中，实验需要满足三个条件：

1）只能有两个结果，比如正面和反面、是和否。2）独立，即事件与事件之间不会相互影响。3）重复，包含两种情况，一是一个人重复多次，二是多人重复一次。它的计算公式如下：

（2.2）小贴士：组合的公式

也可以用 

表示，因此（2.2）等价于：

哈哈哈，二项分布公式乍一看很复杂，实际上主要用到的是排列组合的知识（对排列组合不了解的小伙伴可以看我的往期文章：《从加、乘原理到排列组合》）举个简单的例子，这个公式就一目了然啦：以打篮球为例，小刘投篮命中的概率为0.8，她投了7次。

x代表恰投中的次数，若x=5时，小刘投7次中5次事件的发生概率是多少？因为是二项分布，所以事件概率之和为1，因此未命中的概率为1-0.8=0.2假设第1、2次没有投中，后面3到7次均投中，那么这一种情况的概率为：p1=0.2x0.2x0.8。

x0.8x0.8x0.8x0.8。每一种情况发生的概率都是相同的，因此我们侧重点应该放在有多少种情况。用排列组合的知识简化单个计算的过程，可得式子：

（2.3）拆分上式，稍复杂的排列式展开计算为：

（2.4）将得到的结果带入式子计算，p=21x0.33x0.04=0.2772，用百分数表示为p=0.2772*100%=27.72%二项分布的极端情况：泊松分布泊松分布是二项分布的极端情况，它是指在p的概率很小，但n很大（趋近于无穷大）的情况下，事情发生的概率。

它的推导建立在二项式分布的公式（2.2）之上。当p趋近于0，n趋近于∞时，n·p会是一个常数，即λ。表示为n·p=λ。遵循用已知求未知的化简思路，公式推导的关键在于用 

 代入二项式分布的公式（2.2）。推导过程如下：

挖掘隐藏信息，为后续的化简提供更多条件：

代入化简：

调换分子分母，得到新式子，继续化简：

观察式子，进一步拆解：

继续观察式子，尝试用已知解决未知：

怎么样？是不是没有想象中的难？如果还有疑惑，也没关系，说明你在积极地思考，尝试深度地挖掘更多信息~关于推导过程，可点击“阅读原文”，观看b站up主oqnx0902的详细讲解视频《泊松分布是怎么来的？应该怎么用？

》，相信你看完会很有收获。希望这篇文章能帮助你领略到数学定理推导过程中的结构之美~参考资料1. bilibili：oqnx0902. (2021-01-22). 泊松分布是怎么来的？应该怎么用？

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