海伦公式的证明_海伦公式的证明方法

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，是一个利用三角形的三条边长直接求三角形面

 

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，是一个利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式下面我们利用初中的知识进行推导（注意：公式推导过程的方法比公式更为重要）。

题：已知△ABC的三边为a，b，c，求△的面积S。

分析：以a为底边，欲求△ABC的面积，只需要求得BC上高解：不妨设BC为最大边，作△ABC的高AD（如图）设BD=x，则DC=a-x由勾股定理，得AB^2-BD^2=AD^2=AC^2-DC^2,所以c^2-x^2=b^2-(a-x)^2,

整理，得2ax=a^2+c^2-b^2,所以x=( a^2+c^2-b^2)/2a，所以AD^2= c^2-x^2= c^2-[( a^2+c^2-b^2)/2a]^2，=1/(4a^2)•[4a^2c^2-( a^2+c^2-b^2)^2]

=1/(4a^2)•(2ac+ a^2+c^2-b^2)(2ac- a^2-c^2+b^2)=1/(4a^2)•[(a+c)^2-b^2][b^2-(a-c)^2]=1/(4a^2)•(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)

=1/(4a^2)•(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)，所以AD=1/(2a)•√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)]，所以S=1/2•a•1/(2a)•√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)]

=1/4•√[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)+(a+b-c)]，令(a+b+c)/2=p（这里的p称为三角形半周长），则a+b+c=2p，b+c-a=a+b+c-2a=2(p-a)，c+a-b=a+b+c-2b=2(p-b)，

a+b-c=a+b+c-2c=2(p-c)，所以S=1/4•√[2p•2(p-a)•2(p-b)•2(p-c)]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)].这就是海伦公式，在我国又称为秦九韶海伦公式公式虽然有点复杂，但和谐好记。

这个公式在实际问题中得到广泛的运用，深受民间百姓的喜爱有了这个公式，只要将三角形三边的长一代，马上就可以算出它的面积来由于在测量三角形土地面积时测量三边的长是最容易的，又不会存在大的争议（如果测量一边上的高往往争议不断），所以这个公式才深得人们的喜欢而广为流传。

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